SAYILAR ve DENKLEM KURMA TESTi ve ÇÖZÜMLERİ

Soru 01

"k" bir doğal sayı olmak üzere,3 'ün k 'yıncı kuvvetinin birler basamağındaki rakam, aşağıdakileren hangisi olamaz?

A) 1 B) 3 C) 6 D) 7 E) 9

ÇÖZÜM

3 'ün tüm kuvvetlerinin birler basamağı;

9 , 7 , 3 , 1 , 9 , 7 , 3 , 1 , , , olacağından, Birler basamağı 6 olamaz.

bbbbYANIT : C

---

---

Soru 02

bbbbbbbbbb2
Bir sayının ¾ sinin 4 katının 4 fazlası 60 tır. Bu sayı aşağıdakilerden hangisidir?
bbbbbbbbbb7


A) 40 B) 49 C) 56 D) 60 E) 65

ÇÖZÜM

bbbb 2 bbbbbbbbbbbbb8x
x . ¾ . 4 + 4 = 60 => ¾ = 56 => x = 49 bulunur.
bbbb 7 bbbbbbbbbbbbb7

bbbbYANIT : B

---

---

Soru 03

3 ile bölündüğünde 225 'nin karekökünün 3 katına eşit olan sayı kaçtır?

A) 45 B) 90 C) 135 D) 180 E) 190

ÇÖZÜM

bbbb x
¾ = 3 . 15 => x = 135 bulunur.
bbbb 3

bbbbYANIT : C

---

---

Soru 04

bbbbbb1
2 katı ¾ ünden 7 fazla olan sayı kaçtır?
bbbbbb4


A) 4 B) 6 C) 10 D) 15 E) 17

ÇÖZÜM

bbbbbbbbbbbb x
2 . x = ¾¾ + 7 => x = 4 bulunur.
bbbbbbbbbbbb 4

bbbbYANIT : A

---

---

Soru 05

bbbbbbbbbbbbbbb4
Cebimdeki paranın ¾ sini harcadım. Geriye 90 YTLkaldığına göre cebimde kaç YTL vardı ?
bbbbbbbbbbbbbbb7


A) 240 B) 210 C) 280 D) 300 E) 410

ÇÖZÜM

bbbbYANIT : B

---

---

Soru 06

bbbbbbbbbbbbbbbb1
Üç katının 13 eksiği ¾ inden 57 fazlasına eşit olan sayı kaçtır?
bbbbbbbbbbbbbbbb5


A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30

ÇÖZÜM

bbbbYANIT : D

---

---

Soru 07

Ardışık iki tek sayının kareleri farkı 104 tür. bu sayıların toplamı kaçtır?

A) 45 B) 47 C) 48 D) 52 E) 60

ÇÖZÜM

bbbbYANIT : B

---

---

Soru 08

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb1
Ardışık iki tamsayının toplamının ¾ 'ü 121 d ir. Bu sayılardan küçük olanı kaçtır?
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb3


A) 101 B) 151 C) 171 D) 181 E) 191

ÇÖZÜM

bbbbYANIT : D

---

---

Soru 09

İki sayının farkı 28 ve aritmetik ortalamaları 19 ise büyük sayı kaçtır?

A) 33 B) 37 C) 42 D) 48 E) 50

ÇÖZÜM

bbbbYANIT : A

---

---

Soru 10

Toplamları 2460 olan dört sayıdan birincisi ikincinin iki katı, ikincisi üçüncünün üç katı ve üçüncüsü de dördüncünün dört katıdır. Buna göre 3. sayı kaçtır?

A) 1440 B) 720 C) 240 D) 180 E) 230

ÇÖZÜM

bbbbYANIT : C

---

---

Soru 11

bbbbbbbbbbbbbbb3bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb3
cebimdeki paranın ¾ 'i ile kitap ve kalan paranın ¾¾ 'sı ile defter aldım. Geriye 1 820 YKR kaldı. Paramın bbbbbbbbbbbbbbb5bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb16
tamamı kaç YTL dir?


A) 48 B) 56 C) 60 D) 62 E) 74

ÇÖZÜM

---

---

Soru 12

Bir kesrin pay ve paydasının toplamı 34 tür. Bu kesrin payın 2 eklenir ve paydasından 3 çıkarılırsa, kesrin değeri 0,5 oluyor. Bu kesir aşağıdakilerden hangisidir?

bbb11 bbbbb 9 bbbbbb13 bbbbb 7 bbbbb 5
A) ¾¾ B) ¾¾ C) ¾¾ D) ¾¾ E) ¾¾
bbb23 bbbbb25 bbbbb21 bbbbb27 bbbbb15

ÇÖZÜM

bbbbYANIT : B

---

---

Soru 13

Cebimdeki paranın önce 2/5 'ini sonra geri kalanın 3/7 'sini daha sonra da geri kalanın 1/3 'ünü harcadım. Geriye 40 YTL param kaldığına göre, paramın tamamı kaç YTL dir?

A) 145 B) 150 C) 160 D) 165 E) 175

ÇÖZÜM

bbbbYANIT : E

---

---

Soru 14

Kalansız bir bölme işleminde bölünen ile bölenin toplamı 1125 ve bölüm 14 ise, bölünen kaçtır?

A) 1025 B) 1040 C) 1050 D) 1070 E) 1080

ÇÖZÜM

bbbbYANIT : C

---

---

Soru 15

Kalansız bir bölme işleminde bölünen ile bölenin farkıı 975 ve bölüm 14 ise, bölen ile bölümün toplamı kaçtır?

A) 69 B) 79 C) 89 D) 99 E) 109

ÇÖZÜM

bbbbYANIT : C

---

---

Soru 16

Bir bölme işleminde bölünen ile bölenin toplamı 1136 ve bölüm 14 ve kalan 11 ise, bölünen kaçtır?

A) 1045 B) 1048 C) 1050 D) 1060 E) 1061

ÇÖZÜM

bbbbYANIT : E

---

---

Soru 17

Her biri en az iki basamaklı on tane doğal sayının birler basamağı 3 küçültülüp onlar basamağı 3 büyütülürse, sayıların toplamı ne kadar artar?

A) 3 B) 10 C) 30 D) 200 E) 270

ÇÖZÜM

bbbbYANIT : E

---

---

Soru 18

Aralarında 11 'er fark bulunan 11 ardışık sayı toplamı 161051 dir. Sondan 5 'inci sayı kaçtır?

A) 14619 B) 14630 C) 14641 D) 14652 E) 14663

ÇÖZÜM

bbbbYANIT : D

---

---

Soru 19

Aralarında 6 'şar fark bulunan 6 doğal sayı toplamı 690 dir. En büyük sayı kaçtır?

A) 106 B) 112 C) 118 D) 124 E) 130

ÇÖZÜM

bbbbYANIT : E

---

---

Soru 20

Aşağıdaki toplama işleminde her harf sıfırdan farklı birer rakamı göstermektedir.

bbbbbbbbbbbbbbbbbbb A B C D
bbbbbbbbbbbbbbbbbbb B C D A
bbbbbbbbbbbbbbbbbbb C D A B
bbbbbbbbbbbbbbbbb+ D A B C
bbbbbbbbbbbbbbbbb ¾¾¾¾¾
bbbbbbbbbbbbbbbbbbb2 6 6 6 4

olduğuna göre; A + B + C + D toplamı kaçtır?

A) 20 B) 22 C) 24 D) 26 E) 28

ÇÖZÜM

bbbbYANIT : C

Kümelerle ilgili örnek alıştırmalar - Kümelerde Kesişim

Tanım: Herhangi cins ve çeşitten oluşan iyi tanımlanmış bir nesneler topluluğudur.

Kümelerin Gösterilişi:

Liste Yöntemi: Küme elemanlarının {....} parantez içerisine 1'er tane olmak üzere yazılış sırası önemli olmadan yazılma şeklidir.

Ortak Özelik Yöntemi: Kümenin tüm elemanlarını yazmadan, A = { x| p(x) } şeklinde göstermektir.

Venn Şeması: Küme elemanlarını kapalı bir şekil (çember, dikdörtgen vs. ) içersinde yazmaya 'VENN şeması ile gösterim' denir.

ÖRNEKLER

• A = {2,3,4,5,6,7,8} kümesi liste yöntemi ile yazılmıştır. s(A) = 6 (eleman sayısı altı dır.)
• B = {x,{x,y},{z},y,{y,z},t} kümesi de liste yöntemi ile yazılmıştır. s(B) = 6 dır. {z} , B'nin elemanı olup "z" B'nin elemanı değildir.
• A = {z| 0<z<10 , z asal sayı} ortak özelik yöntemiyle yazılmış olup, 0 ile 10 arasındaki asal sayılar kümesidir. A = {2,3,5,7} şeklinde de "liste yöntemi" ne göre de yazılır.

Denk Kümeler: Elemanları (1-1) eşlenebilen kümeler olup, eleman sayıları eşittir. A={1,2,3,4} ve B={a,b,c,d} ise; s(A)=s(B)=4 olup A ile B kümeleri Denk Kümeler dir.

Eşit Kümeler: Elemanları aynı olan kümelerdir. A={a,b,c} , B={a,b,c} ise, A = B yazılır.

Ayrık Kümeler: Ortak elemanları olmayan kümelerdir. A={1,2,3} ve B={a,b,c,d} kümeleri Ayrık kümelerdir.

Alt Kümeler: Bir kümenin tüm elemanları bir başka kümenin elemanları ise, bu kümeye diğer kümenin Alt kümesi denir.

Örnek : A={1,2,3} kümesinin Alt kümeleri ve Öz alt kümelerini bulunuz.

{} ; {1} , {2} , {3} ; {1,2} , {1,3} , {2,3} ; {1,2,3}

İlk yedi küme hem alt küme hem de öz alt küme olup son küme yani kendisi alt kümedir.

"n" elemanlı bir kümenin "r" elemanlı alt küme sayısı: Aşağıda verilen formülle hesaplanır.

Uyarı : C(n,p) = C(n,k) ise; n = p+k dır.

Örnek: Beş elemanlı bir kümenin en çok 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?

C(5,0) + C(5,1) + C(5,2) = 1 + 5 + 10 = 16 bulunur.

Kümelerde Kesişim, Birleşim ve Fark

Yandaki şekilde anlaşılacağı üzere, E={x,y,z,t} A={x,y} B={y,z}verildiğinde; AUB={x,y,z} olur. A ve B'nin kesişim kümesi "y" ve fark kümeleri sırasıyla AB={x} ve BA={z} dir. "t" elemanı ise (AUB)' kümesine yani E (AUB) kümesine aittir.

 

Ö R N E K L E R

• E ={a,b,c,d,e} A ={a,b,d} B ={b,d,e} kümeleri verildiğine göre; B' - A' fark kümesi nedir? (A' ve B' kümeleri sırasıyla A ve B kümelerinin tümleyenleridir.)

  B' = { a , c } A' = { e , c } olduğuna göre, b' - A' = { a } olur. bize sorulan, B' kümesinde olup da A' kümesinde olmayan elemandır.

• Alt kümeleri ile Öz alt kümeleri toplamları 127 olan kümenin dört elemanlı alt kümeleri kaç tanedir?

  Alt küme + Öz alt küme = 127     =>     Alt küme + Alt küme - 1 = 127     =>     2 . Alt küme = 128    =>    Alt küme = 64

  2ⁿ = 64 =>     n = 6     =>     (A) = 6 bulunur.    4 elemanlı alt küme sayısı     =>    C(6,4)= 6! / 4!.2!     =>    = 15     bulunur.

• 1 den 159'a kadar (159 dahil) doğal sayılardan kaç tanesi 3 veya 5 ile bölünebilir?

  53 + 31 - 10 = 74 demek ki    74    tane   3 veya 5   ile bölünebilen sayı olduğu görülür.

• 42 kişilik bir kafilede 25 kişi Almanca, 16 kişi Türkçe dillerini bilmemekte ve 6 kişi de her iki dili bilmektedir.  Kafilede her iki dili de bilmeyen kaç kişi vardır?
  
  

  x + y + z + 6 = 42         x + y + z = 36         y + z = 25             x + z = 16         x + y + z + z = 41       36 + z = 41       z = 5 bulunur.

Limit ve Süreklilik - Konu anlatımı - Çözümlü örnekler

Tanım:

Lim f(x) = b x - a < d f(x) - b < e olacak şekilde d > 0 ve e > 0 olan d =d ( e ) vardır.
^x®a

Ö R N E K L E R

• Lim ( 3x - 1 ) = 5 limitini d =d ( e ) yöntemiyle bulunuz.
  ^x®2
  x - 2 < d (3x-1) - 5 < e => 3x - 6 < e => 3. x - 2 < e => 3 d = e => d = e/3 bulunur.
  
  
  
• Lim ( x² - 4x + 7 ) = 4 limitini d =d ( e ) yöntemiyle bulunuz.
  ^x®1
  x - 2 < d ( x² - 4x + 7) - 4 < e => x² - 4x + 3 < e => (x-1) . (x-3) < e => 2 d = e 2. (x-1) < e => 2 d = e => d = e/2 bulunur.
  
  
  
• Lim ( 3x³ - 5x² + x - 3 ) = -12 limitini d =d ( e ) yöntemiyle bulunuz.
  ^x®-1
  x - (-1) < d ( 3x³ - 5x² + x - 3) - (-12) < e => 3x³ - 5x² + x + 9 < e => (x+1) . (3x² - 8x + 9) < e =>
  20. (x+1) < e => 20 d = e => d = e/20 bulunur.
  
  
  

  Sağdan - Soldan Limit
  

  Lim f(x) = Lim [ f ( a + e ) ] = f ( a ) x®a+ e®0 Lim f(x) = Lim [ f ( a - e ) ] = f ( a ) x®a- e®0

  Bir fonksiyonun limiti; x, a'ya a'dan küçük değerler alarak yaklaşıyorsa, Soldan Limit a'dan büyük değerler alarak yaklaşıyorsa, Sağdan Limit denir. Soldan limit sağdan limite eşitse, fonksiyonun bu noktada limiti vardır denir.

  Sonuçlar
  

  • Fonksiyon bir noktada tanımsız olsa bile, limiti olabilir.
  • Bir fonksiyonun limiti, görüntüsüne eşit olmayabilir.
  • Polinom fonksiyonlarda limit görüntüsüne eşittir.

  Tanım:
  

  

Sayıların Gösterilişi - Doğal ve Rasyonel Sayılar

Tanım: sayıları göstermek için kullanılan işaretlerin herbirine Rakamdenir.

Sayıların Gösterilişi:

Q (Rasyonel Sayılar) Z (Tam Sayılar) N Doğal Sayılar

Q' (İrrasyonel Sayılar)

N : { 0, 1, 2, , , , n} S : { 1, 2, , , , n} Z : { , , , -2, -1, 0, 1, 2, , , } Q : { , , , -a/b , , 0, a/b , , , } Q U Q' = R

Yukarıda görüldüğü gibi Q, Z ve N'i ; Z ise sadece N kümesini kapsar. Q' (bazen İ kümesi de deniyor) rasyonel olmayan sayılar kümesidir. Reel Sayılar kümesi ise, Rasyonel ve İrrasyonel sayılar kümelerinin birleşimi olarak ifade edilir.Tüm sayıların yukarıdaki kümelerde göstrildiği gibi aklımıza takılan bazı sayıların da ne olduğuna ve nerede bulunduğuna bakalım.

• Ardışık Doğal Sayılar
  Arka arkaya gelen doğal sayılar. , , , , , n , n+1, n+2 , , , , , ,
• Çift Sayılar
  Doğal sayılar içinden alınan herhangi bir n sayısının 2 ile çarpılarak bulunan sayılardır. 2n, 4n,
• Ardışık Çift Sayılar
  Arka arkaya gelen çift sayılardır , , , 2n , 2n+2 , 2n+4, , , ,
• Tek Sayılar
  Bir çift sayıya tek sayı ilave etmek veya bir çift sayıdan tek sayı çıkarmak suretiyle elde edilen sayılardır. 2n-1, 4n+1,
• Ardışık Tek Sayılar
  Arka arkaya gelen tek sayılardır , , 2n-3 , 2n-1 , 2n+1 , 2n+3, , , ,
• Asal Sayılar
  1 ve kendisinden başka doğal sayılara tam olarak bölünemeyen 1'den büyük doğal sayılardır. 2 , 3, 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , , ,
• Aralarında Asal Sayılar
  1'den başka ortak böleni olmayan doğal sayılardır. 7 ve 18 gibi

Bölünebilme
Tanım:
Bir bölme işleminde kalan sıfır "0" oluyorsa, bölünen, bölene tam olarak bölünüyor denir.

BÖLÜNEBİLME KURALLARI

2 ile bölünebilme	Birler basamağındaki rakam 0 veya çift olan sayılar
3 ile bölünebilme	Rakamları toplamı 3 veya 3'ün katı olan sayılar
4 ile bölünebilme	Son iki basamağı 00 veya 4'ün katı olan sayılar
5 ile bölünebilme	Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar
6 ile bölünebilme	Hem 2 hem de 3 ile bölünebilen sayılar
8 ile bölünebilme	Son üç basamağı 000 veya 8'in katı olan sayılar
9 ile bölünebilme	Rakamları toplamı 9 veya 9'un katı olan sayılar
10 ile bölünebilme	Birler basamağı 0 olan sayılar
11 ile bölünebilme	Rakamları sondan başa doğru - + - + - şekilde işaretlendiğinde, + ve - lerin farkı 0 ya da 11 veya 11 'in katı olan sayılar
25 ile bölünebilme	Son iki basamağı 00 veya 25'in katı olan sayılar
50 ile bölünebilme	Son iki basamağı 00 veya 50 olan sayılar

Bazı önemli tanım ve uyarılar

Rakamların basamaklara bağlı olmadan gösterdikleri doğal sayıya sayı değeri denir.
Rakamların, bulunduğu basamaklara göre aldıkları değere basamak değeri denir.
Doğal sayılar kümesinde toplama işleminin değişme ve birleşme özelliği vardır.
Doğal sayılar kümesinde çıkarma işleminin değişme ve birleşme özelliği olmayıp kapalı değildir.
Bir sayının asal çarpanlara ayrılması, çarpanları asal sayılar cinsinden yazılmasıdır.
x bir asal sayı olmak üzere, x sayını bölebilen (n+1) tane sayma sayısı vardır.
Sayılarda işlem sırası parantez - kuvvet - çarpma/bölme - toplama/çıkarma şeklindedir.
n! sayısının sonundaki sıfır sayısını bulmak için, n'i sürekli 5'e bölerek bulunan bölümleri toplarız.
Toplamları verilen doğal sayılar 3,5,7,,, gibi tek adette ise, toplam adet'e bölünerek ortanca (ortadaki sayı) bulunur.
Toplamları verilen doğal sayılar 2,4,6,,, gibi çift adette ise, tüm sayılar ya en küçüğe, ya da en büyüğe göre düzenlenip sonuca gidilir.
Ardışık tek/çift doğal sayılar arasında 2 fark vardır.
İki doğal sayı arasındaki sayı adedini bulmak için son sayıdan ilk sayı çıkartılıp "1" eksiği alınır.
İki doğal sayı (kendileri de dahil olmak üzere) arasındaki sayı adedini bulmak için son sayıdan ilk sayı çıkartılıp "1" toplanır.

Tam sayı bölenleri
a, b ve c Asal sayılar ve x, y ve z Sayma sayılar kümeleri olmak üzere T = a^x . b^y . c^z şeklinde verilen T sayısının pozitif bölenlerinin;

• sayısı
  (x+1) . (y+1) . (z+1)
• toplamı
  (1+a+a²+...+a^x ) . (1+b+b²+...+b^y ) . (1+c+c²+...+c^z )
  Formülleriyle hesaplanır.

Sayıların (OKEK) - (OBEB) lerinin bulunması
Verilen sayıların asal çarpanları bulunduğunda;

• Ortak olan asal çarpanların üsleri en büyük olanlar ile üsleri eşit olanların birer tanesi ve ortak olmayanların tümünün çarpımı (OKEK)'i verir.
• Ortak olan asal çarpanların üsleri en küçük olanlar ile üsleri eşit olanların birer tanesinin çarpımı (OBEB)'i verir.

Taban Aritmetiği
Günlük hayatta kullanılan sayılar {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 } rakamlarından oluşup, 10'luk sayı sistemindedir. Sayılar farklı tabanlarda yazılıp yine farklı tabanlarda istenebilir. Bu durumda yapılacak işlemeler aşağıdaki gibi olacaktır.

(sayı)10 = ( ? )x	" B ö l " sayıyı sürekli x'e bölüp son bölümün yanına sondan başa doğru kalanları yazarız
(sayı)x = ( ? )10	"Ç ö z ü m l e " sayının rakamlarını bulundukları basamak değerlerine göre yazarız.
(sayı)x = ( ? )y	"Ç ö z ü m l e " ve " B ö l " birinci ve ikinci satırdaki yazdıklarımızı birlikte uygularız.

UYARI
Aynı tabanda iki sayının toplam/çarpma işlemi 10'luk düzene çevirmeden de o tabandaki basamaklar düşünülerek yapılabilir.

UYARI
(abc) _m sayısının TEK / ÇİFT olma durumu

m çift sayı ise	c TEK ise, sayı TEK ; c ÇİFT ise , sayı ÇİFT
m tek sayı ise	(a+b+c) TEK ise, sayı TEK ; (a+b+c) ÇİFT ise sayı ÇİFT

ÖRNEKLER

150 ½ 2 75 ½ 3 25 ½ 5 5 ½ 5 1 ½

kural: (x+1) . (y+1) . (z+1) idi, asal çarpanlar : 21, 31, 52 => (1+1) . (1+1) . (2+1) = 2 . 2 . 3 => 12 tane pozitif bölen bulunur. Bunların Toplamı; ( 2o + 21 ) . ( 3o + 31 ) . (5o + 51 + 52 ) = 3 . 4 . 31 = 372 bulunur.

252 ½ 2 126 ½ 2 63 ½ 3 21 ½ 3 7 ½ 7 1 ½

1 470 ½ 2 735 ½ 3 245 ½ 5 49 ½ 7 7 ½ 7 1 ½

252 = 22 . 32 . 7 1 470 = 2 . 3 . 5 . 72

OKEK(252,1470) = 2² . 3² . 7² . 5 = 8 820
OBEB(252,1470) = 2 . 3 . 7 bbbb = 42
¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾
370 440 bbbbbbbbbbbbbbbbbbbb= 370 440

Uyarı: İki sayının obeb ve okek 'leri çarpımı; sayıların çarpımına eşittir.

• 150 sayısının pozitif tam sayı bölenleri adedi ile bunların toplamı kaçtır?
• 252 ile 1 470 sayılarının (OKEK) ve (OBEB) lerini bulunuz.

Tümevarım yöntemiyle ispat - Tümevarımın Kuralları

Tanım:

Matematikde olmayana ergi yöntemi, doğrudan ispat, dolaylı ispat, örnek göstererek ispat gibi çeşitli ispat yöntemleri vardır. TÜMEVARIM da bir eşitliğin doğruluğunu göstermeye yarayan bir ispat yöntemidir.

Tümevarım yöntemiyle ispat

P(n), n'e bağlı bir hüküm, eğer;
1.ADIM : p(1) doğru ise
2.ADIM : p(n) 'i doğru kabul edelim. Yani P(n) 1 den n'e kadar tüm doğal sayılar için doğru olsun
3.ADIM : p(n + 1) için de doğruluğunu gösterebiliyorsak, P(n) hükmü " n Î N⁺ için de doğrudur.

ÖRNEKbbbbbbbbbbbbbbbbbbb>n ( n + 1 )
1 + 2 + 3 + . . . . + n = ¾¾¾¾ eşitliğinin doğru olduğunu tümevarım yöntemi ile ispat edelim.
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb> 2

1. ADIM :
bbbbbbbbbbbbb> 1(1 + 1)
n = 1 için P(1) : 1 = ¾¾¾ ® 1 = 1 P(1) doğru
bbbbbbbbbbbbbbbbb>2

2. ADIM :
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb> k(k+1)
n = k için P(k) : 1 + 2 + 3 + ... + k = ¾¾¾ ifadesinin doğruluğunu kabul edelim.
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb>2

3. ADIM :
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb> (k+1)(k+2)
n = k + 1 için P(k) : 1 + 2 + 3 + ... + k+1 = ¾¾¾¾ önermesinin doğruluğunu gösterelim. Bunun için P(k) varsayımından hareket ederek eşitliğin her iki
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb>2
tarafına (k+1) ilave edelim.

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb> k(k+1)bbbbbbbbbb> k(k+1) +2(k+1) (k+1)(k+2)
1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = ¾¾¾¾ + (k+1) = ¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾
bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb>2bbbbbbbbbbbbbbbbb>2bbbbbbbbbbbbb>2

O halde, P(k+1) önermesi de doğrudur.

å , Õ (toplam ve çarpım) simgeleri:

n
å a_k = a₁ + a₂ + . . . + a_n k'nın , 1'den n'e kadar değerleri için a sayılarının TOPLAMI
^k=1

n
Õ a_k = a₁ . a₂ . . . . . a_n k'nın , 1'den n'e kadar değerleri için a sayılarının ÇARPIMI
^k=1

Özellikleri içeren Ö R N E K L E R

5 å k = å (k-1) = å (k-1) k=0 k=0+1 k=1 5+1 6

10 å k = å (k+4) = å (k+4) k=5 k=5-4 k=1 10-4 6

10 å k = å (k-6) = å (k-6) k=-5 k=-5+6 k=1 10+6 16

5 å m = 5 . m k=1

p å 3 . k = 3 . å k k=1 k=1 p

5 Õ k = 1.2.3.4.5 = 5 ! = 120 k=1

5 Õ k = 3.4.5 = 60 k=3

4 Õ m = m4 = m.m.m.m k=1

TÜMEVARIM İspat yöntemiyle kanıtlanan toplam formülleri

n .................................. ............... n (n+1) å k = 1 + 2 + 3 + . . . + (n-1) + n = ¾¾¾ k=1 .................................................... 2	n å (2k-1) = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n-1) = n2 k=1
n å 2k = 2 + 4 + 6 + . . . + 2n = n (n+1) k=1	n ............................................................. n (n+1)(2n+1) å k = 1 2+ 2 2 + 3 2 + . . . + (n-1) 2 + n 2 = ¾¾¾¾¾¾ k=1 .................................................................... 6
n ............................................................... n (n+1) å k = 13+ 2 3 + 3 3 + . . . + (n-1) 3 + n 3 = [ ¾¾¾ ] 2 k=1 ................................................................. 2	n ............................................ 1 - rn å k = 1 + r + r 2 + . . . + r n-1 = ¾¾ { r ¹ 0 ; r ¹ 1 } k=1 .......................................... 1 - r

Logaritma Konu Anlatımı - Logaritmanın özellikleri

Tanım :
a > 1 ve a, A Î R olmak üzere, aⁿ = A eşitliğini sağlayan n sayısına, A'nın a tabanına göre logaritması denir.

log a A = n Û an = A

Ö z e l l i k l e r
logn (A . B) Û logn A + logn B	logn (A ¸ B) Û logn A - logn B
logan Ap Û [p/n] logn A	1 logn A Û ¾¾¾ logA a
logn A loga A Û ¾¾¾ logn a	loga b logb a = 1
log1/a b Û - loga b	[ n ] loga A = A
loga b . logb c . logc d . . . . . . logy z = loga z

Tanım :
Logaritması 1 olan sayıya, logaritma fonksiyonunun tabanı denir.

Doğal (Naturel) Logaritmada taban e dir.
1
lim ( 1 + ¾ )ⁿ = e [ e = 2,71828... ]
n®¥ n

Bayağı Logaritmada ise taban 10 dur.

Ö R N E K L E R

• 3x² - 75 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
  3x² - 75 = 0 => x² = 25 => x₁ = -5 / x₂ = 5 => Ç.K. {-5 , 5 }
• 3x² + 9x = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
  3x²+ 9x = 0 => 3x ( x+3 ) = 0 => 3x = 0 / x+3 = 0 Ç.K. {0 , -3 }
• x² + 3x + 2= 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
  
  • yol: ( x+1 ) ( x+2 ) = 0 şeklinde çarpanlara ayırarak x₁ = -1 / x₂ = -2 => Ç.K. {-2 , -1 } buluruz.
  • yol; Diskriminat bulunarak;

Yukarıdaki denklemler görünüş olarak ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlere benzememekte olup;



• Eşitliğin sol tarafındaki terimleri sağ tarafa geçirme (veya tersi) yapılarak,
  x² + 3x + 1 - 4x - 12 = 0 => x² - x - 2 = 0 => Ç.K. { -1 , 2 } bulunur.
  
• İçler dışlar çarpımı yapılarak i. maddeyi uygulayarak,
  
  
• Köklü ifadeyi yalnız bırakıp her iki tarafın karesini almak ve daha sonra i. maddeyi uygulayarak,
  => x - 2 = ( x - 2 ) ² => x - 2 = x² - 4x + 4 = 0
  x² - 5x + 6 = 0 => ( x - 2 ) ( x - 3 ) = 0 x₁ = 2 / x₂ = 3 => Ç.K. { 2 , 3 } buluruz.
  
• Parantez içerisindeki ifadeye, başka bir değişken atayarak,
  x² - 1 = u değişkenini atayalım. u² - u - 2 = 0 => Ç.K. { -1 , 2 } bulunur.
  x² - 1 = -1 veya x² - 1 =2 yapılarak çözüm kümesi; bulunur.
• Çarpanları ayrı ayrı sıfıra eşitleyerek,
  3 x - 6 = 0 /
  x = 2 3x² - 2x - 1 = 0 ( 3x + 1 ) ( x - 1 ) = 0 => Ç.K. { -1/3 , 1 , 2 } bulunur.
  
• Payda sıfırdan farklı olmak üzere payı sıfıra eşitleyerek, bulunur.

İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlere dönüştürülüp çözüm kümeleri bulunur

İkinci Derece Denklemine Dönüştürülebilen Denklemler

Kâr Zarar Problemleri - Çözümlü Matematik Soruları

P R O B L E M L E R

---